در اين مقاله روشي براي محاسبه ي سينوس زواياي دلخواه ارائه مي شود كه به كمك آن مي توان ساير نسبت هاي مثلثاتي را نيز به دست آورد .
 

سينوس يك زاويه حاده چيست؟در مثلث قائم الزاويه سينوس زاويه حاده برابر است با:نسبت ضلع رو به رو به اين زاويه،بر وتر.
يك روش محاسبه براي زاويه هاي خيلي كوچك اين است كه نسبت قوس را به شعاع حساب كنيم.
مثلا" براي زاويه 1 درجه داريم:(شكل 1)   

كه قوس است.و در آن ...14159/3= است.و AB=R .

پس : .

و به همين ترتيب مي توان به دست آورد:

حال اگر سينوس 30 درجه را با روش فوق محاسبه كنيم ، عدد 524/0 را به جاي 500/0 به دست مي آوريم كه خطاي حاصل يعني قريب 5% خواهد بود و اين بيش از اندازه زياد است. براي اين كه بتوانيم مرزي براي روش فوق پيدا كنيم سينوس زاويه 15درجه را با دقت محاسبه مي كنيم:

با توجه به شكل 2 داريم:  

شكل2

BC را به اندازه ي خودش تا نقطه ي D امتداد مي دهيم و سپس D را به A وصل مي كنيم. در اين صورت دو مثلث مساوي ADC و ABC و زاويه BAD مساوي 30درجه به دست مي آيد. عمود BE را بر AD فرود مي آوريم ؛ مثلث قائم الزاويه BAE بازاويه 30 درجه(زاويه BAE ) به دست مي آيدو بنابراين =BE مي شود.
حال AE را از مثلث ABE طبق رابطه ي فيثاغورث به دست مي آوريم:

حال در مثلث BED طول BD را محاسبه مي كنيم:

اگر به سه رقم اعشار اكتفا كرده باشيم ، اين عدد، همان عددي است كه در جدول ها براي 15 Sin ضبط شده است.

حالا اگر مقدار را با روش نسبت قوس بر شعاع محاسبه كنيم به عدد 262 /0 مي رسيم:با مقايسه دو عدد 262/0و259/0 مي بينيم كه اگر هر دو را تا دو رقم اعشار گرد كنيم به عدد 26/0 مي رسيم . خطاي حاصل از تبديل مقدار دقيق تر 259/0 به 26/0 مساوي ،يعني قريب4/0% است. كه اين مقدار خطا براي محاسبه هاي عادي مانعي ندارد.

براي زاويه هاي بين 15 درجه و 30 درجه مي توانيم از تناسب استفاده كنيم .به اين ترتيب استدلال مي كنيم كه اختلاف بين 30 Sin و 15 Sin برابر است با :

با اضافه شدن يك درجه به زاويه،سينوس آن به اندازه اين اختلاف، يعني به اندازه زياد مي شود. خطاي اين روش است كه در محاسبات تقريبي خود از آن صرف نظر مي كنيم .

به اين ترتيب با اضافه كردن 016/ 0به سينوس 15 درجه به طور متوالي سينوس زاويه هاي 16، 17درجه و غيره به دست مي آيد:

.

.

.

به همين ترتيب مي توان سينوس زاويه هاي بين 30 و 45 درجه را محاسبه نمود.

اگر اين مقدار را مرتبا" به سينوس 30 درجه اضافه كنيم به دست مي آيد:

.

.

.

حال به محاسبه ي سينوس زاويه ي حاده ي بزرگ تر از 45 درجه مي پردازيم:
براي اين منظور مي توان از قضيه ي فيثاغورث استفاده كرد.
فرض مي كنيم كه بخوا هيم سينوس زاويه 53 درجه را محاسبه كنيم:
بايد نسبت را به دست آوريم.(شكل3 )

شكل3

چون37=B درجه است،پس مي توان سينوس آن را به روش قبل محا سبه كرد:

از طرفي داريم :   

بنا بر اين:    و لذا داريم :